1. Тема: Теоремы теории вероятностей. Повторные испытания

2. Актуальность темы: при практическом применении теории вероятностей особое значение имеют события, связанные с независимыми повторными испытаниями.

3. Цель занятия: закрепить методику решения задач на определение вероятности события с помощью основных терем теории вероятностей, а также решение задач на вычисление вероятности событий, проведенных по схеме Бернулли.

3.1 Целевые задачи:

знать: формулировки теоремы сложения для несовместных событий; следствий из теоремы сложения; теоремы умножения для независимых и зависимых событий; формулу вероятности хотя бы одного события; формулу полной вероятности; схему Бернулли; формулу Бернулли; закон Пуассона.

уметь: решать задачи на вычисление вероятности событий.

4. Краткие сведения из теоретического курса

Основные теоремы теории вероятностей. Теорема сложения

Суммой двух событий А и В называется событие С=А+В, заключающееся в наступлении события А, или события В, или событий А и В одновременно. Если события А и В несовместны, то событие С заключается в осуществлении события А или события В.

Теорема: Вероятность наступления одного из двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Следствие 1. (теорема сложения для любого числа несовместных событий). Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

.

Следствие 2. (Сумма вероятностей для полной группы событий). Сумма вероятностей событий А₁, А₂, … А_n , образующих полную группу, равна единице:

.

Следствие 3. (свойство противоположных событий). Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: .

Теорема умножения. Условная вероятность

Произведением двух событий А и В называется событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А – деталь окрашенная, событие В – деталь годная, то АВ – деталь годная и окрашенная.

Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме указанных условий не налагается, то такую вероятность называется безусловной вероятностью; если же накладываются и другие, дополнительные условия, то условной вероятностью.

Например, часто приходится вычислять вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А. Условной вероятностью называется вероятность событияВ, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Рассмотрим два события А и В. Пусть вероятность Р(А) и известны.

Теорема: Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

.

Можно распространить теорему на большее число событий. Например, для трех событий: .