Свойства коэффициента линейной корреляции

1. Коэффициент корреляции двух независимых случайных величин равен нулю.

2. Коэффициент корреляции двух величин, связанных линейной функциональной зависимостью равен 1 в случае возрастающей зависимости и – 1 в случае убывающей.

3. Абсолютная величина коэффициент корреляции не превышает 1.

На практике имеют дело с ограниченным объемом выборки пар значений величин Х и У, получаемых в результате наблюдений. Первоначально составляется корреляционная таблица, в которую записываются все возможные значения х и у.

Построив в прямоугольной системе координат точки (х, ), по характеру их расположения можно определить форму корреляционной зависимости величины У от Х, если эта зависимость наблюдается. Таким образом, графическое изображение полученных результатов позволяет высказать предположение о той или иной форме корреляционной зависимости.

В этих случаях, когда между величинами наблюдается линейная корреляционная зависимость для описания корреляционных зависимостей между величинами Х и У по результатам выборочных наблюдений вводят выборочное уравнение линейной регрессии У на Х и Х на У:

где и– выборочные коэффициенты регрессии, имеющие смысл выборочных оценок соответственно коэффициентов А и С. Для нахождения выборочных коэффициентов регрессии по результатам наблюдений применяется метод наименьших квадратов, позволяющий получить такие параметрыиb (иd), чтобы сумма квадратов отклонений была бы наименьшей. По величине коэффициентов регрессии судят о силе корреляционной связи между изучаемыми величинами. (чем больше коэффициент , тем сильнее изменяется среднее значение величины У при изменении Х, значит сильнее корреляционная связь).

Для оценки тесноты связи между случайными величинами по результатам наблюдений используется выборочный коэффициент корреляции

,

где ;;;

; .

Между выборочным коэффициентом корреляции и коэффициентами регрессии существует связь: или .

Для расчета коэффициента корреляции удобно пользоваться расчетными таблицами или проводить расчеты на компьютере.

Если , то говорят, что связь между двумя величинами слабая;

– умеренная связь;

– значительная связь;

– достаточно тесная;

– сильная связь;

– очень сильная связь.

Решение задач

1.Для изучении взаимного влияния зарплаты и текучести работников на пяти однотипных фирмах с одинаковым числом работников проведены измерения уровня месячной зарплаты Х и числа уволившихся Y в течение года:

Найти выборочный коэффициент корреляции.