Факторная и остаточная дисперсии

Пусть на рассматриваемую величину X влияет фактор F, который имеет р уровней. На каждом уровне, т. е. для одного из видов факто­ра F, проводятся измерения величины X. Будем полагать, что число таких измерений для всех уровней одинаково и равно q.

Пусть наблюдалось значенийx_ij признака Х, где i – номер испытания, а j – номер уровня фактора. Полученные статистические данные заносят в таблицу. Данные в таблице сгруппированы по столбцам, что соответствует определенному уровню фактора.

В последней строке таблицы записываются вычисленные выборочные средние или групповые выборочные средние:для всех.

Общей групповой средней является величина, равная: .Общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей среднейвычисляется по формуле:.

Факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей выборочной средней, которая характеризует рассеяние между группами:.

Остаточная сумма квадратов отклонений показывает отклонение наблюдаемых значений x_ij группы от своей групповой средней и характеризует рассеяние внутри групп: .

На практике остаточную сумму находят по равенству: .

Вычислив рассмотренные выше суммы можно вычислить факторную и остаточную дисперсии.

Формула несмещенной оценки факторной дисперсии зависящей от p составляющих имеет вид: .

Остаточная дисперсия зависит от pq составляющих, следовательно, несмещенная оценка дисперсии вычисляется по формуле: .

Общая несмещенная оценка дисперсии вычисляется по формуле: .

Для того чтобы проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями, достаточно проверить по критерию F нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсии. В этом состоит метод дисперсионного анализа.

Решение задач

1. Для проверки влияния внутреннего оформления аптеки на количество продаваемых товаров проведена выборочная проверка товарооборота за пять месяцев.

Результаты приведены в таблице:

Проверить нулевую гипотезу при о существенном влиянии оформления на товарооборот.