11.1. Определение и основные теоремы

• Функция называется бесконечно малой функцией (БМФ) при , если .

Например, при является функцией бесконечно малой, а функция является бесконечно малой функцией при .

Теорема 11.1. Алгебраическая сумма бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Теорема 11.2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть БМФ.

Следствие 1. Произведение конечного числа БМФ есть БМФ.

Следствие 2. Произведение БМФ на число есть БМФ.

Теорема 11.3. Частное от деления БМФ на функцию, имеющую предел, отличный от нуля – есть БМФ.

Теорема 11 4. Если – БМФ, то – ББФ. Обратно, если – ББФ, то – БМФ.

Теорема 11.5. функцию можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции .

Доказательство: Пусть . Следовательно, по определению, такое, что для всех х из -окрестности точки х₀ выполняется неравенство , то есть , а это значит, что , то есть функция есть БМФ. Обозначив , получаем , что и требовалось доказать.

Обратно, пусть , где - БМФ. То есть такое, что для всех х из -окрестности точки х₀ выполняется неравенство , то есть , а это означает по определению предела функции в точке, что .