Общее исследование функции и построение ее графика рекомендуется выполнять по следующей схеме:

1. Найти область определения функции.

2. В случае если область определения функции симметрична относительно начала координат, проверить, не является ли функция четной или нечетной, проверить периодичность функции.

3. Найти, если это возможно, точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Найти промежутки знакопостоянства функции (промежутки на которых или ); выяснить поведение функции на концах промежутка знакопостоянства (в том числе и на бесконечности), построить схематично график на концах промежутка знакопостоянства.

5. Найти асимптоты графика функции.

6. Найти промежутки монотонности функции, ее экстремумы.

7. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, его точки перегиба.

8. Построить график, используя полученные результаты исследования.

Заметим, что приведенная схема исследования не является обязательной. Иногда целесообразно выполнение операций сопровождать постепенным построением графика функции и выбирать дополнительные точки.

Пример.

Исследовать функцию .

1. Данная функция определена при всех , т.е. .

2.  данная функция является функцией общего вида.

3. Если .Таким образом график функции пересекает ось в точке . Если . График пересекает ось в точках и .

4. Интервалы знакопостоянства:

5. Вертикальных асимптот нет, поскольку функция непрерывна на всей области определения. Выясним наличие наклонной асимптоты :

, . Таким образом, наклонных асимптот нет.

6. Найдем промежутки монотонности функции.

.

Таким образом , .

7. Найдем промежутки выпуклости и вогнутости графика функции. . Вторая производная положительна (кривая вогнута) при всех , кроме .

8.

44