12.1. Непрерывность функции в точке и в области

• Пусть определена в точке и в некоторой окрестности этой точки. Функция называется непрерывной в точке , если

Таким образом, чтобы функция была непрерывна в точке необходимо выполнение следующих 3 условий:

1. функция должна быть определена в точке и в окрестности этой точки;

2. должен существовать предел ;

На этом рисунке функция непрерывна в точке Ниже представлены примеры функций, имеющих разрыв при .

• Другими словами, функция непрерывна, если предел функции слева равен пределу справа и равен значению функции в данной точке, т.е. .

• Функция называется непрерывной в интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна в интервале (a, b) и в точке х=а непрерывна справа, т.е. , а в точке х=b непрерывна слева, т.е.

Утверждение. Все основные элементарные функции непрерывны на своих областях определения.

Это утверждение означает, что при вычислении пределов, используя определение непрерывности, функцию и предел можно поменять местами, т.е.

; ; и т.д.