13.2. Определение производной функции в точке

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки x. Дадим аргументу x приращение x (при этом предполагается, что точка x+x принадлежит области определения функции). Тогда функция получит приращение y=f(x+x)–f(x).

• Производной функции f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует и конечен.

Производная функции y = f(x) в точке x обозначается символами . Итак, по определению

.

Как следует из определения, производная функции f(x) в точке x есть число, зависящее от рассматриваемого значения x (но не зависящее от x). Рассматривая производную функции f(x) в различных точках x мы будем получать, вообще говоря, различные значения. Таким образом, производная является функцией переменной x, определенной в области определения функции f(x) или в части этой области.