11.5. Эквивалентные функции

• Если , где и БМФ, то называется эквивалентной к при , пишут .

Таким образом, поскольку функции и являются бесконечно малыми при , то они являются эквивалентными при , т.е. .

Теорема 11.11. Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей БМФ.

Примеры.

1)

2) . В данном случае заменить невозможно, поскольку функция не является бесконечно малой при .

• Вообще говоря, если и БМФ при , то:

1. если , то ;

2. если существует конечный предел , то и - БМФ одного порядка малости;

3. если , то - БМФ более высокого порядка малости, чем ;

4. если , то БМФ более низкого порядка малости, чем .

Говорят, что БМФ одного порядка стремятся к нулю с одинаковой скоростью.

Теорема 11.12 Сумма конечного числа БМФ эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Пример: при .

• Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы. Замена суммы БМФ ее главной частью называется отбрасыванием БМФ высшего порядка.

Теорема 11.13. Разность двух эквивалентных БМФ есть БМФ более высокого порядка.

Ниже представлены эквивалентные бесконечно малые, используемые при решении задач на вычисление пределов.

Примеры.

1) .

2) .

3) . Для решения данной задачи сделаем замену переменной. Пусть , тогда . Имеем:

= .