13.4. Физический смысл производной

Пусть материальная точка движется неравномерно по прямой. Каждому моменту времени t соответствует определенное расстояние S от этой точки до некоторой фиксированной точки прямой. Это расстояние зависит от времени: S=S(t).

Как известно, отношение приращения расстояния S ко времени t, за которое произошло это перемещение, выражает среднюю скорость точки: .

Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени t называется мгновенной скоростью:

.

Таким образом, скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути по времени: .

Вообще, если функция описывает какой-либо физический процесс, то производная у´ есть скорость протекания этого процесса.

Пример 1. Скорость химической реакции.

Пусть дана функция , где – количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию к моменту времени . Приращению времени будет соответствовать приращение величины . Отношение – средняя скорость химической реакции за промежуток времени . Предел этого отношения при стремлении к нулю, т.е. есть скорость химической реакции в данный момент времени.

Пример 2. Рост популяции

Пусть – размер популяции бактерий в момент времени , тогда изменение размера популяции за время . Отношение – средняя скорость изменения размера популяции за время . Следовательно, – скорость роста популяции в данный момент времени .

Таким образом, на основании приведенных выше примеров можно заключить, что производная есть скорость изменения функции.