13.8. Производные основных элементарных функций

• Производная показательной функции.

Пусть . Тогда

.

. Таким образом,

В частности, .

• Производная логарифмической функции.

Пусть . Тогда

.

Таким образом,

• Производная степенной функции.

Пусть . Прологарифмируем данное выражение. Имеем: , откуда Возьмем производную от сложной функции:

.

Таким образом,

.

• Производные синуса и косинуса.

Пусть . Тогда . Представим разность тригонометрических функции в виде произведения:

Следовательно,

Таким образом,

Предоставим читателю, доказать формулу:

• Производные тангенса и котангенса.

Пусть . Тогда , и на основании правила дифференцирования дроби, получаем: .

Таким образом,

Аналогично для функции , получим

• Производные обратных тригонометрических функций

Пусть . Тогда . По теореме о дифференцировании обратной функции имеем, .

Пусть . Тогда . Имеем: .