9.5. Основные элементарные функции

Среди огромного числа функций в ходе развития математики была выделена небольшая совокупность сравнительно простых функций, особенно часто встречающихся в самых разнообразных приложениях математического анализа и поэтому подвергнутых наиболее подробному исследованию. Их называют основными элементарными функциями. К ним относят функции степенную, показательную и логарифмическую, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

• Степенная функция – это функция вида , где .

• Пусть . Тогда данная функция определена для всех .

  Рис. 1

  Рис. 2

  Рис. 3

• Пусть n – целое отрицательное число. В этом случае функция определена при всех .

  Рис. 4

  Рис. 5

• Пусть n – произвольное действительное число, тогда степенная функция будет определена при x > 0.

На рис. 7 представлена совокупность степенных функций при различных положительных значениях n.

• Показательная функция – это функция вида , где и . Она определена при всех x.

На рисунке 10 представлена совокупность показательных функции при различных значениях основания .

Рис. 10

• Логарифмическая функция – функция вида , . Она определена при .

Напомним, что, по определению логарифма, , так что логарифмическая функция является обратной для показательной функции .

Заметим, что одним из наиболее часто встречающихся и удобных является логарифм по основанию е – натуральный логарифм ; кроме того, всегда можно выразить .

• Тригонометрические функции.

К тригонометрическим относят следующие функции: , , . . Их графики представлены на рисунках 13-16.

Рис.13

Рис.14

Рис. 15

Рис. 16

• Обратные тригонометрические функции.

К обратным тригонометрическим функциям относят: - функция, обратная для функции sinx на интервале ее монотонности: ;

, ;

, ;

, .

Графики первых трех функций представлены ниже.

Рис. 19