8.2. Числовые множества

Одним из основных понятий математики является число. В курсе высшей математики мы будем изучать, в основном, числовые множества. Понятие числа возникло в древности и на протяжении длительного времени подвергалось расширению и обобщению. Первые представления о числе возникли из счета предметов. Результатом счета являются числа 1,2,3,…. Такие числа называются натуральными и обозначаются N. На языке множеств можно записать следующим образом: N={1,2,3,…}. Натуральные числа, противоположные числа и 0 образуют множество целых чисел: Z={0,1,-1,2,-2…}. К рациональным числам относят числа вида , где , т.е. ={ :  }. Все бесконечные непериодические дроби образуют множество иррациональных чисел. Множество действительных чисел содержит все рациональные и иррациональные числа, т.е. является объединением двух множеств. Множество можно изобразить в виде числовой оси, где каждая точка является изображением только одного действительного числа. Множествами на такой числовой оси являются следующие числовые промежутки (здесь ):

Замкнутый интервал (отрезок) ;

Открытый интервал ;

Полуоткрытые интервалы

Полубесконечные интервалы

Бесконечный интервал .

• Окрестностью точки называется любой интервал (a,b), содержащий точку . В частности интервал , где называется окрестностью точки .

Далее приведем некоторые понятия, которые будут использоваться нами при изложении.

• Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа x называется неотрицательное число , определяемое соотношением

Геометрически выражает расстояние на числовой прямой от точки 0 до точки х. Соответственно, выражает расстояние от точки а до точки х. В частности, окрестность точки можно описать неравенством .

Приведем без доказательства следующие свойства абсолютной величины:

1. ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7. , если |y|0.

• Переменной величиной называется величина, которая принимает различные численные значения.

• Совокупность всех числовых значений переменной величины называется областью изменения этой величины.