13.6. Производная постоянной, суммы, произведения и частного двух функций

Для нахождения производной функции по определению, необходимо дать аргументу приращение , вычислить приращение функции и найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю. Воспользуемся данным алгоритмом для доказательства следующих теорем.

Теорема 13.2. Производная постоянной функции равна 0, т.е. .

Доказательство. Пусть . Тогда и, следовательно, .

.

Теорема 13.3. Производная алгебраической суммы двух функций равна сумме производных этих функций, т.е. .

Доказательство. Пусть . Тогда

.

Т огда .

Замечание. Теорема верна и для любого конечного числа функций.

Теорема 13.4. Производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную второй функции, т.е.

Следствие.

Теорема 13. 4. Производная частного двух функций равна произведению производной числителя умноженной на знаменатель минус производная знаменателя на числитель и делённое на квадрат знаменателя, т.е. .

Следствие. .