15.2. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема 15.2 (Ролля).

Е сли функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема в интервале (a, b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(a)=f(b), то найдется такая точка , в которой производная обращается в нуль: .

Геометрически теорема Ролля означает. что на графике функции y=f(x) найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох.

Так, для функции на рисунке таких точек две.

Теорема 15.3. (Лагранжа).

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b), то найдется такая точка , что выполняется равенство

.

Перепишем формулу Лагранжа в виде . Отношение есть угловой коэффициент секущей графика функции, проходящей через концевые точки.

Таким образом, геометрически теорема Лагранжа означает, что на графике функции найдется точка С, в которой касательная параллельна секущей АВ.

Следствие. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.

Обобщением теоремы Лагранжа является

Теорема 15. 4. (Коши).

Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b] и дифференцируемы в интервале (a, b), причем в этом интервале, то найдется такая точка , что выполняется равенство

.