15.3. Исследование поведения функций и построение графиков

• Возрастание и убывание функций

Теорема 15.5. 1) Если функция , имеющая производную на отрезке , возрастает (убывает) на этом отрезке, то ее производная на отрезке неотрицательна (неположительна), т.е. ( ).

2) Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в промежутке , причем ь ( ) для , то эта функция возрастает (убывает) на .

Геометрический смысл этой теоремы в том, что касательные к графику дифференцируемой возрастающей функции образуют острые углы, а убывающей функции – тупые углы с положительным направление оси .

• Максимум и минимум функций.

• Функция в точке имеет максимум, если значение функции в точке больше, чем ее значения во всех точках некоторой окрестности точки .Иначе говоря, функция имеет максимум при , если , при любых .

• Функция имеет минимум при , если , при любых .

• Максимумы и минимумы функции называются экстремумами.

Теорема 15.6 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая функция имеет в точке экстремум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т.е. .

• Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими.

Теорема 15.7 (достаточное условие существования экстремума). Пусть функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки ). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при функция имеет максимум. Если же при переходе через точку функция меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

• Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.

• Говорят, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале , если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Говорят, что кривая обращена выпуклостью вниз на интервале , если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале. Кривую, обращенную выпуклостью вверх будем называть выпуклой, а обращенную выпуклостью вниз – вогнутой.

Теорема 15.8. 1) Если во всех точках интервала , то кривая на этом интервале выпукла.

2) Если во всех точках интервала , то кривая на этом интервале вогнута.

• Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

В точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, так как с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны над нею.

Теорема 15.9. Пусть кривая определяется уравнением . Если или не существует и при переходе через значение вторая производная меняет знак, то точка с абсциссой является точкой перегиба.

• Асимптоты

• Прямая l называется асимптотой кривой, если расстояние  от точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Различают два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

• Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если .

• Уравнение наклонной асимптоты , где , а .

• В частности, если , то – уравнение горизонтальной асимптоты.

Замечание. Асимптоты графика функции при и могут быть разными, поэтому при вычислении пределов следует отдельно рассматривать случаи и .