11.4. Первый замечательный предел

Рассмотрим функцию . Она не определена при , так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Однако можно заметить, что если , то значения функций и приблизительно одинаковые. Это можно увидеть на представленном ниже рисунке и сравнить значения в таблице.

Ч ем ближе , тем больше и схожи в значениях. Таким образом, можно заключить, что при функция . Итак, докажем формулу . Для этого рассмотрим единичную окружность. Пусть .

, , .

Так как , то .

Разделим данное неравенство на . Знак неравенства при этом не изменится, поскольку лежит в I четверти. Получим:

.

Следовательно, . Воспользуемся теоремой о пределе промежуточной функции. Поскольку при функция и , тогда при .

Итак,

Ниже представлен график функции .