13.3. Геометрический смысл производной

П усть имеем кривую и на ней фиксированную точку . Возьмем на кривой точку и проведем секущую . Если точка неограниченно приближается по кривой к точке , то секущая принимает различные положения. Предельное положение данной секущей – касательная.

Рассмотрим функцию .

Пусть , , – секущая, . Если неограниченно приближается к , то . Тогда .

.

Следовательно, значение производной при данном значении аргумента равняется тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси касательной к графику функции в соответствующей точке .

Вспомнив вид уравнения прямой на плоскости с угловым коэффициентом, мы можем написать уравнение касательной к графику функции в точке касания (х₀, у₀), где :