14.1. Понятие дифференциала функции

Пусть функция имеет в точке отличную от нуля производную . Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать , где при , или .

Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых и , которые являются бесконечно малыми при . При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с , а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем . Поэтому первое слагаемое называют главной частью приращения функции.

• Дифференциалом функции в точке называется главная часть приращения функции, равная произведению производной функции на приращение аргумента и обозначается , т.е. .

Рассмотрим функцию у=х. В этом случае , то есть .

Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной, т.е.

.

Тогда, согласно данной формуле, производную функции можно записать, как отношение ее дифференциалов: .

Отметим, что дифференциал обладает инвариантностью формы, то есть та же формула применяется и для вычисления дифференциала от сложной функции:

если , то .