Курс лекций тема 1. Введение в математический анализ

Содержание

• Тема 1. Введение в математический анализ 9
• Тема 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной 34
• Тема 3. Интегральное исчисление 84
• Тема 4. Ряды 144
• Требования к результатам освоения дисциплины
• Содержание дисциплины
• Тема 1. Введение в математический анализ.
• Тема 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
• Тема 3. Интегральное исчисление.
• Тема 4. Ряды.
• Формы контроля
• Литература
• Курс лекций тема 1. Введение в математический анализ
• 1.1. Числовая последовательность
• 1.2. Ограниченные и неограниченные последовательности
• 1.3. Предел
• 1.4. Монотонные последовательности
• 1.5. Число е
• 1.6. Связь натурального и десятичного логарифмов
• 1.7. Предел функции в точке. Односторонние пределы
• 1.8. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности
• 1.9. Основные теоремы о пределах
• 1.10. Ограниченные функции
• 1.11. Бесконечно малые функции
• 1.12. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
• 1.13. Сравнение бесконечно малых функций
• 1.14. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций
• 1.15. Некоторые замечательные пределы
• 1.16. Непрерывность функции в точке
• 1.17. Свойства непрерывных функций
• 1.18. Непрерывность некоторых элементарных функций
• 1.19. Точки разрыва и их классификация
• 1.20. Непрерывность функции на интервале и на отрезке
• 1.21. Свойства функций, непрерывных на отрезке
• 1.22. Комплексные числа
• 1.23. Тригонометрическая форма числа
• 1.24. Действия с комплексными числами
• 1.25. Показательная форма комплексного числа
• Тема 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
• 2.1. Производная функции, ее геометрический и физический смысл
• 2.2. Односторонние производные функции в точке
• 2.7. Производная показательно-степенной функции
• 2.8. Производная обратных функций
• 2.9. Дифференциал функции
• 2.10. Геометрический смысл дифференциала
• 2.11. Свойства дифференциала
• 2.12. Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала
• 2.13. Формула Тейлора. Формула Лагранжа. Формула Маклорена Тейлор (1685-1731) – английский математик
• Колин Маклорен (1698-1746) шотландский математик.
• 2.14. Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора. Бином Ньютона
• 2.15. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
• 2.16. Теорема Ролля
• 2.17. Теорема Лагранжа
• 2.18. Теорема Коши
• 2.19. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
• 2.20. Производные и дифференциалы высших порядков
• 2.21. Общие правила нахождения высших производных
• 2.22. Возрастание и убывание функций
• 2.23. Точки экстремума. Критические точки. Достаточные условия экстремума
• 2.24. Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков
• 2.25. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
• 2.26. Асимптоты
• Вертикальные асимптоты
• Наклонные асимптоты
• 2.27. Схема исследования функций
• 2.28. Векторная функция скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой
• 2.29. Свойства производной векторной функции скалярного аргумента
• 2.30. Уравнение нормальной плоскости
• 2.31. Параметрическое задание функции
• 2.32. Уравнения некоторых типов кривых в параметрической форме о кружность
• Циклоида
• Астроида
• 2.33. Производная функции, заданной параметрически
• 2.34. Кривизна плоской кривой
• Свойства эволюты
• 2.35. Кривизна пространственной кривой
• О формулах Френе
• 3.4. Методы интегрирования. Интегрирование различных функций
• Непосредственное интегрирование
• Способ подстановки (замены переменных)
• Интегрирование по частям
• Интегрирование элементарных дробей
• Интегрирование рациональных функций. Интегрирование рациональных дробей.
• Интегрирование некоторых тригонометрических функций
• Интегрирование некоторых иррациональных функций
• 1 Способ. Тригонометрическая подстановка.
• 3 Способ. Метод неопределенных коэффициентов.
• Несколько примеров интегралов, не выражающихся через элементарные функции
• 3.5. Определенный интеграл и его свойства
• Свойства определенного интеграла
• 3.6. Приемы и методы вычисления определенного интеграла
• Замена переменных
• Интегрирование по частям
• Приближенное вычисление определенного интеграла
• Формула прямоугольников
• Формула трапеций
• Формула парабол (формула Симпсона или квадратурная формула) (Томас Симпсон (1710-1761)- английский математик)
• 3.7. Несобственные интегралы
• 3.8. Интеграл от разрывной функции
• 3.9. Геометрические приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур
• Нахождение площади криволинейного сектора
• Вычисление длины дуги кривой
• 3.8. Вычисление объемов тел Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.
• Объем тел вращения
• 3.9. Площадь поверхности тела вращения
• 3.10. Функции нескольких переменных
• 3.11. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных
• 3.12. Полное приращение и полный дифференциал
• 3.12. Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
• 3.13. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала
• 3.14. Частные производные высших порядков
• 3.15. Экстремум функции нескольких переменных
• Условный экстремум
• 3.16. Производная по направлению
• 3.17. Градиент
• Связь градиента с производной по направлению
• 3.18. Двойные интегралы
• Условия существования двойного интеграла
• Свойства двойного интеграла
• Вычисление двойного интеграла
• Замена переменных в двойном интеграле
• Двойной интеграл в полярных координатах
• 3.19. Тройной интеграл
• Замена переменных в тройном интеграле
• Цилиндрическая система координат
• Сферическая система координат
• 3.20. Геометрические и физические приложения кратных интегралов
• 3) Вычисление объемов тел.
• Тема 4. Ряды
• 4.1. Основные определения
• 4.2. Свойства рядов
• 4.3. Критерий Коши
• 4.4. Ряды с неотрицательными членами
• 4.5. Признак сравнения рядов с неотрицательными членами
• 4.6. Признак Даламбера
• 4.7. Предельный признак Даламбера
• 4.8. Признак Коши (радикальный признак)
• 4.9. Интегральный признак Коши
• 4.10. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды
• 4.11. Признак Лейбница
• 4.12. Абсолютная и условная сходимость рядов
• 4.13. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов
• 4.14. Свойства абсолютно сходящихся рядов
• 4.15. Функциональные последовательности
• 4.16. Функциональные ряды
• 4.17. Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса
• 4.18. Свойства равномерно сходящихся рядов
• 4.19. Степенные ряды
• 4.20. Теоремы Абеля
• 4.21. Действия со степенными рядами
• 1) Интегрирование степенных рядов.
• 2) Дифференцирование степенных рядов.
• 3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.
• 4.22. Разложение функций в степенные ряды
• Если применить к той же функции формулу Маклорена
• 4.23. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
• 4.24. Ряды Фурье
• Тригонометрический ряд
• Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье
• Разложение в ряд Фурье непериодической функции.
• Ряд Фурье для четных и нечетных функций
• Ряды Фурье для функций любого периода
• Ряд Фурье по ортогональной системе функций
• 4.25. Интеграл Фурье
• Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу
• 4.26. Преобразование Фурье
• 4.27. Элементы теории функций комплексного переменного
• 4.28. Свойства функций комплексного переменного
• 4.29. Основные трансцендентные функции
• 4.30. Производная функций комплексного переменного
• 4.31. Условия Коши – Римана
• 4.32. Интегрирование функций комплексной переменной
• 4.33. Теорема Коши. Интегральная формула Коши
• Интегральная формула Коши
• 4.34. Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки
• 4.35. Теорема о вычетах. Вычисление интегралов с помощью вычетов
• Образцы решения типовых заданий
• Блок контроля контрольная работа
• Варианты заданий
• Экзаменационная работа
• Экзаменационные вопросы
• Экзаменационные практические задания
• Список рекомендуемой литературы