4.34. Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки

(Пьер Альфонс Лоран (1813 – 1854) – французский математик)

Функция f(z), аналитическая в круге , разлагается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням (z – z₀).

Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:

Степенной ряд с коэффициентами такого вида называется рядом Тейлора.

Рассмотрим теперь функцию f(z), аналитическую в кольце . Эта функция может быть представлена в виде сходящегося ряда:

Ряд такого вида называется рядом Лорана. При этом функция f(z) может быть представлена в виде суммы:

Ряд, определяющий функцию f₁(x), называется правильной частью ряда Лорана, а ряд, определяющий функцию f₂(x), называется главной частью ряда Лорана.

Если предположить, что r = 0, то можно считать, что функция аналитична в открытом круге за исключением центральной точки z₀. Как правило, в этой точке функция бывает не определена.

Тогда точка z₀ называется изолированной особой точкой функции f.

Рассмотрим следующие частные случаи:

1) Функция f(x) имеет вид: . Т.к. степенной ряд сходится во всех точках внутри круга, то его сумма f₁(x) определена и непрерывно дифференцируема во всех точках круга, а, следовательно, и в центре круга z₀.

В этом случае говорят, что особенность функции f в точке z₀ устранима. Для устранения особой точки достаточно доопределить функцию в центре круга (f(z₀) = c₀) и функция будет аналитической не только в окрестности центра круга, но и в самом центре.

В этом случае для любого контура L, содержащего точку z₀ и принадлежащего к кругу .

2) Функция f(x) имеет вид: .

В этом случае точка z₀ называется полюсом функции f(z) порядка (кратности) m. При m = 1 точку z₀ называют еще простым полюсом.

Порядок полюса может быть определен по формуле:

z₀ – полюс порядка т.

3) Функция f(z) имеет вид , где в ряду не равно нулю бесконечное количество коэффициентов с_-k.

В этом случае говорят, что функция f(z) имеет в точке z₀ существенно особую точку.

Определение. Пусть z₀ – изолированная особая точка функция f(z), т.е. пусть функция f(z) – аналитическая в некотором круге из которого исключена точка z₀. Тогда интеграл

называется вычетом функции f(z) в точке z₀, где L – контур в круге , ориентированный против часовой стрелки и содержащей в себе точку z₀.

Вычет также обозначают иногда .

Если есть ряд Лорана функции f в точке z₀, то .

Таким образом, если известно разложение функции в ряд Лорана, то вычет легко может быть найден в случае любой особой точки.

В частных случаях вычет может быть найден и без разложения в ряд Лорана.

Например, если функция , а имеет простой нуль при z = z₀ , то z = z₀ является простым полюсом функции f(z).

Тогда можно показать, что вычет находится по формуле

Если z = z₀ – полюс порядка m  1, то вычет может быть найден по формуле:

Пример. Найти вычет функции относительно точки z = 2.

Эта точка является полюсом второго порядка. Получаем: