Замена переменных в двойном интеграле

Рассмотрим двойной интеграл вида , где переменная х изменяется в пределах от a до b, а переменная у – от ₁(x) до ₂(х).

Положим х = f(u, v); y = (u, v)

Тогда dx = ; dy = ;

т.к. при первом интегрировании переменная х принимается за постоянную, то dx = 0.

, т.е.

подставляя это выражение в записанное выше соотношение для dy, получаем:

Выражение называется определителем Якоби или Якобианом функций f(u, v) и (u, v).

(Якоби Карл Густав Якоб – (1804-1851) – немецкий математик)

Тогда

Т.к. при первом интегрировании приведенное выше выражение для dx принимает вид ( при первом интегрировании полагаем v = const, dv = 0), то при изменении порядка интегрирования, получаем соотношение: