Тема 4. Ряды.

Основные определения. Свойства рядов. Критерий Коши. Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения. Признак Даламбера. Предельный признак Даламбера. Признак Коши. Интегральный признак Коши. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость рядов. Признак Даламбера и Коши для знакопеременных рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Функциональные последовательности. Область сходимости. Функциональные ряды. Критерий Коши равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Теоремы Абеля. Радиус сходимости. Действия со степенными рядами. Разложение функций в степенные ряды. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Ряды Фурье. Тригонометрический ряд. Коэффициенты Фурье. Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье непериодической функции. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Ряд Фурье для функций любого периода. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье. Элементы теории функций комплексной переменной. Свойства функций комплексной переменной. Основные трансцендентные функции. Производная функций комплексной переменной. Условия Коши – Римана. Интегрирование функций комплексного переменного. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки. Теорема о вычетах. Вычисление интегралов с помощью вычетов.