1.4. Монотонные последовательности

Определение. 1) Если x_n+1 > x_n для всех n, то последовательность возрастающая.

2) Если x_n+1  x_n для всех n, то последовательность неубывающая.

3) Если x_n+1 < x_n для всех n, то последовательность убывающая.

4) Если x_n+1  x_n для всех n, то последовательность невозрастающая

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Пример. {x_n} = 1/n – убывающая и ограниченная

{x_n} = n – возрастающая и неограниченная.

Пример. Доказать, что последовательность {x_n}= монотонная возрастающая.

Найдем член последовательности {x_n+1}=

Найдем знак разности: {x_n}-{x_n+1}=

, т.к. nN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, x_n+1 > x_n. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность

{x_n} = .

Найдем . Найдем разность

, т.к. nN, то 1 – 4n <0, т.е. х_n+1 < x_n. Последовательность монотонно убывает.

Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность

х₁  х₂  х₃  …  х_n  x_n+1  …

Эта последовательность ограничена сверху: x_n  M, где М – некоторое число.

Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого >0 существует такое число N, что x_N > a - , где а – некоторая верхняя грань множества.

Т.к. {x_n}- неубывающая последовательность, то при N > n а -  < x_N  x_n,

x_n > a - .

Отсюда a -  < x_n < a + 

- < x_n – a <  или x_n - a< , т.е. lim x_n = a.

Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.

Теорема доказана.