2.28. Векторная функция скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой

z

A(x, y, z)

y

х

Пусть некоторая кривая в пространстве задана параметрически:

x = (t); y = (t); z = f(t);

Радиус- вектор произвольной точки кривой: .

Таким образом, радиус- вектор точки кривой может рассматриваться как некоторая векторная функция скалярного аргумента t. При изменении параметра t изменяется величина и направление вектора .

Запишем соотношения для некоторой точки t₀:

Тогда вектор - предел функции (t). .

Очевидно, что

, тогда

.

Чтобы найти производную векторной функции скалярного аргумента, рассмотрим приращение радиус- вектора при некотором приращении параметра t.

; ;

или, если существуют производные (t), (t), f(t), то

Это выражение – вектор производная вектора .

Если имеется уравнение кривой:

x = (t); y = (t); z = f(t);

то в произвольной точке кривой А(x_А, y_А, z_А) с радиус- вектором

можно провести прямую с уравнением

Т.к. производная - вектор, направленный по касательной к кривой, то

.