Образцы решения типовых заданий

ПРИМЕР 1. Найдите предел

Решение.

Разделим числитель и знаменатель выражения на 7ⁿ. После преобразований получим:

.

(Так как при выражение стремится к нулю по свойству показательной функции с основанием 0<a<1).

ПРИМЕР 2. Найдите предел

Решение.

Имеем неопределённость вида . Чтобы устранить её, разделим числитель и знаменатель на :

.

ПРИМЕР 3. Найдите предел .

Решение.

Имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, умножим и разделим выражение в скобках на сопряженное ему выражение . Получим:

.

ПРИМЕР 4. Найти предел

Решение.

Имеем неопределенность вида “0/0”. Подвергнем функцию преобразованию, чтобы получить возможность использовать первый замечательный предел;

.

ПРИМЕР 5. Найти предел .

Решение.

Имеем неопределённость вида . Чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом, преобразуем данную функцию:

^.

ПРИМЕР 6. Продифференцировать функцию: .

Решение.

Находим производную данной функции по правилам дифференцирования сложной функции:

ПРИМЕР 7. Найти производную функции, заданной неявно: .

Решение.

Дифференцируем данную функцию по х:

, откуда

ПРИМЕР 8. Найти производную от функции, заданной параметрически: .

Решение.

.

ПРИМЕР 9. Найти область определения функции

Решение.

Данная функция определена для всех х, не обращающих в нуль знаменатель, т.е. не являющихся корнями уравнения . Это все числа вида .

Таким образом, область определения D(у) - вся числовая прямая, кроме точек .

ПРИМЕР 10. Исследовать функцию и построить ее график:

Решение.

Функция определена и непрерывна в интервале (0;+). В граничной точке области определения функция имеет бесконечный разрыв, так как .

Так как в точке функция имеет бесконечный разрыв, то прямая является вертикальной асимптотой. Найдем уравнение наклонной асимптоты (если она существует).

;

.

(При нахождении пределов воспользовались правилом Лопиталя).

Итак, и уравнение асимптоты . Таким образом, график имеет в качестве асимптот оси координат.

Найдем производную функции и критические точки:

. Стационарная критическая точка: . Исследуем знак производной на интервалах(0;е) и (е;).

х

+

Составим таблицу:

Экстремум функции: .

Найдем вторую производную и значения х, при которых график может иметь точку перегиба:

, при .

Определим знак второй производной в интервалах и :

+

-

Составим таблицу:

y( )=3/( )  0.33

Г рафик пересекает ось абсцисс в точке (1;0). Точек пересечения с осью ординат нет. Строим эскиз графика функции:

y

е

ПРИМЕР 11. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах

Решение.

Построим график данной функции в декартовых координатах для :

r

/2

2

φ

0

Из этого графика видно, что при имеем .

Поэтому требуемый график будет находиться в секторах, соответствующих данным значениям , а также в секторах, симметричных им относительно начала координат (в силу того, что перед стоит чётный коэффициент).

Учитывая характер изменения r в этих промежутках (от 0 до 1 и затем снова до 0) получим следующий график (восьмилепестковую розу):

ПРИМЕР 12. Исследовать сходимость ряда

Решение.

Проверим, выполняется ли необходимое условие сходимости знакоположительного ряда. Найдём предел общего члена ряда

.

Так как данный предел не равен нулю, то не выполняется необходимое условие сходимости ряда, следовательно, он расходится.

ПРИМЕР 13. Разложить функцию в ряд по степеням х.

Решение.

Разложим функцию в ряд Маклорена. Учитывая, что , разложим функцию на сумму двух более простых:

.

Далее преобразуем:

.

Воспользуемся разложением:

.

*

то есть .

Аналогично получим второе разложение:

.

Тогда:

.

Окончательно получаем:

ПРИМЕР 14. Найти неопределённый интеграл .

Решение.

Введем подстановку , откуда . Тогда . Находим полученный табличный интеграл и возвращаемся к прежней переменной:

.

ПРИМЕР 15. Найти неопределённый интеграл .

Решение.

Подведем под знак дифференциала знаменатель подынтегральной дроби:

.

ПРИМЕР 16. Найти неопределённый интеграл .

Решение.

Применим формулу интегрирования по частям: . В данном случае:

. Подставляя эти выражения в формулу, получим:

.

ПРИМЕР 17. Вычислить интеграл или установить его расходимость.

Решение.

Точка является особой точкой, поскольку подынтегральная функция имеет в ней бесконечный разрыв. Поэтому:

- получили бесконечный предел.

Таким образом, данный интеграл расходится.

ПРИМЕР 18. Решить уравнение: .

Решение.

Данное уравнение является дифференциальным уравнением первой степени с Разделяющимися переменными. Разделим переменные:

.

Проинтегрируем части последнего равенства:

.

Отсюда:

.

Окончательно имеем:

- общее решение данного уравнения.

ПРИМЕР 19. Решить уравнение: .

Решение.

Данное дифференциальное уравнение относится к типу однородных дифференциальных уравнений

,

которые решаются с помощью подстановки

.

Отсюда:

.

После подстановки в исходное уравнение получим:

.

Это – уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируя обе части, получим:

Используя обратную подстановку, получим:

Окончательно имеем обще решение в виде:

.

Теперь, чтобы найти частное решение, подставляем в общее решение начальное условие:

.

Искомое частное решение:

.