3.5. Определенный интеграл и его свойства

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

y

M

m

0 a x_i b x

Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]

Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.

x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n

Тогда x₁ – x₀ = x₁, x₂ – x₁ = x₂, … ,x_n – x_n-1 = x_n;

На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.

[x₀, x₁]  m₁, M₁; [x₁, x₂]  m₂, M₂; … [x_n-1, x_n]  m_n, M_n.

Составим суммы:

_n = m₁x₁ + m₂x₂ + … +m_nx_n =

_n = M₁x₁ + M₂x₂ + … + M_nx_n =

Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма – верхней интегральной суммой.

Т.к. m_i  M_i, то _n  _n, а m(b – a)  _n  _n  M(b – a)

Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку .

x₀ < ₁ < x₁, x₁ <  < x₂, … , x_n-1 <  < x_n.

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].

S_n = f(₁)x₁ + f(₂)x₂ + … + f(_n)x_n =

Тогда можно записать: m_ix_i  f(_i)x_i  M_ix_i

Следовательно,

Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.

Обозначим maxx_i – наибольший отрезок разбиения, а minx_i – наименьший. Если maxx_i 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.

Если , то

Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxx_i 0 и произвольном выборе точек _i интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

Обозначение :

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

Определение: Если для функции f(x) существует предел то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

Также верны утверждения:

Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.