Тема 3. Интегральное исчисление.

Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Непосредственное интегрирование. Способ подстановки. Интегрирование по частям. Интегрирование элементарных дробей. Рекуррентная формула. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование рациональных дробей. Метод неопределенных коэффициентов. Метод произвольных значений. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка. Интегрирование иррациональных функций. Биноминальные дифференциалы. Тригонометрическая подстановка. Подстановки Эйлера. Метод неопределенных коэффициентов. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции. Эллиптические интегралы. Интеграл Пуассона. Интеграл Френеля. Интегральный логарифм. Интегральный синус и косинус. Определенный интеграл. Интегральная сумма. Интегрируемая функция. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Обобщенная теорема о среднем. Вычисление определенного интеграла. Теорема Ньютона – Лейбница. Замена переменных в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Приближенное вычисление определенного интеграла. Формула прямоугольников. Формула трапеций. Формула парабол (Симпсона). Несобственные интегралы. Абсолютная сходимость интеграла. Интеграл от разрывной функции. Нахождение площадей плоских фигур. Нахождение площади криволинейного сектора. Вычисление длины дуги кривой. Вычисление объемов тел по поперечным сечениям. Вычисление объемов тел вращения. Площадь поверхности тела вращения. Функции нескольких переменных. Предел. Непрерывность. Наибольшее и наименьшее значения. Частное приращение. Частная производная. Геометрический смысл частных производных. Полное приращение и полный дифференциал. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума. Условный экстремум. Функция Лагранжа. Производная по направлению. Направляющие косинусы. Градиент. Связь градиента с производной по направлению. Кратные интегралы. Двойные интегралы. Условия существования двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла. Замена переменных в двойном интеграле. Якобиан. Двойной интеграл в полярных координатах. Тройной интеграл. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрическая система координат. Сферическая система координат. Геометрические и физические приложения кратных интегралов.