Тема 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой. Односторонние производные функции в точке. Основные правила дифференцирования. Производные основных функций. Производная сложной функции. Логарифмическое дифференцирование. Производная показательно – степенной функции. Производная обратной функции. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Свойства дифференциала. Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи. Формула Тейлора. Формула Лагранжа. Формула Маклорена. Представление функций по формуле Тейлора. Бином Ньютона. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя. Производная и дифференциалы высших порядков. Правила нахождения производных. Исследование функций. Возрастание и убывание функций. Точки экстремума. Критические точки. Достаточные условия экстремума. Исследование функций с помощью производных высших порядков. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба. Асимптоты. Схема исследования функций. Векторная функция скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой. Свойства производной векторной функции скалярного аргумента. Уравнение нормальной плоскости. Параметрическое задание функции. Окружность. Эллипс. Циклоида. Астроида. Производная функции, заданной параметрически. Кривизна плоской кривой. Угол смежности. Средняя кривизна. Кривизна дуги в точке. Радиус кривизны. Центр и круг кривизны. Эволюта и эвольвента. Свойства эволюты. Кривизна пространственной кривой. Годограф. Главная нормаль. Вектор и радиус кривизны. Формулы Френе. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение кривой.