2.22. Возрастание и убывание функций

Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f(x)  0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Доказательство.

1. Если функция f(x) возрастает, то f(x + x) > f(x) при x>0 и f(x + x) < f(x) при х<0,

тогда:

2) Пусть f(x)>0 для любых точек х₁ и х₂, принадлежащих отрезку [a, b], причем x₁<x₂.

Тогда по теореме Лагранжа: f(x₂) – f(x₁) = f()(x₂ – x₁), x₁ <  < x₂

По условию f()>0, следовательно, f(x₂) – f(x₁) >0, т.е. функция f(x) возрастает.

Теорема доказана.

Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f(x)0 на этом отрезке. Если f(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].

Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

Доказанную выше теорему можно проиллюстрировать геометрически:

y y

   

x x