1.13. Сравнение бесконечно малых функций

Пусть (х), (х) и (х) – бесконечно малые функции при х  а. Будем обозначать эти функции ,  и  соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.

Например, функция f(x) = x¹⁰ стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.

Определение. Если , то функция  называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция .

Определение. Если , то  и  называются бесконечно малыми одного порядка.

Определение. Если то функции  и  называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают  ~ .

Пример. Сравним бесконечно малые при х0 функции f(x) = x¹⁰ и f(x) = x.

т.е. функция f(x) = x¹⁰ – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x.

Определение. Бесконечно малая функция  называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой функции , если предел конечен и отличен от нуля.

Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой. Например, если отношение не имеет предела, то функции несравнимы.

Пример. Если , то при х0 , т.е. функция  - бесконечно малая порядка 2 относительно функции .

Пример. Если , то при х0 не существует, т.е. функция  и  несравнимы.