1.24. Действия с комплексными числами

Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

1) Сложение и вычитание.

2) Умножение.

В тригонометрической форме:

,

С случае комплексно – сопряженных чисел:

3) Деление.

В тригонометрической форме:

4) Возведение в степень.

Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:

,

где n – целое положительное число.

Это выражение называется формулой Муавра.

(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)

Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.

Пример. Найти формулы sin2 и cos2.

Рассмотрим некоторое комплексное число

Тогда с одной стороны .

По формуле Муавра:

Приравнивая, получим

Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то

Получили известные формулы двойного угла.

5) Извлечение корня из комплексного числа.

Возводя в степень, получим:

Отсюда:

Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.