Вычисление длины дуги кривой

y y = f(x)

S_i y_i

x_i

a b x

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как .

Тогда длина дуги равна .

Из геометрических соображений:

В то же время

Тогда можно показать (см. п 3.5 курса), что

Т.е.

Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции (см. п. 2.33 курса), получаем

,

где х = (t) и у = (t).

Если задана пространственная кривая, и х = (t), у = (t) и z = Z(t), то

Если кривая задана в полярных координатах, то

,  = f().

Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x² + y² = r².

1 способ. Выразим из уравнения переменную у.

Найдем производную

Тогда

Тогда S = 2r. Получили общеизвестную формулу длины окружности.

2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r²cos² + r²sin² = r², т.е. функция  = f() = r, тогда