68.Нахождение оригинала по изображению

Для решения задачи о нахождении оригинала f (t) по известному изображению F(p) применяются следующие приемы, используемые при выполнении задания 31:

Применение теоремы умножения.

Пример 1.  .

Решение. Пусть

,

где  , а  .

По таблице определяем оригиналы функций F(р) и Ф(р):

,

.

Искомый оригинал  определяем как свертку оригиналов f (t) и (t)

.

2. Применение формулы Дюамеля. Если функция-оригинал f (t) непрерывна на [0,+  ), а функция-оригинал (t) непрерывно дифференцируема на [0,  ) и

,  ,

то

.

Отсюда по теореме о дифференцировании оригинала

.

Это – так называемая формула Дюамеля.

Пример 2.  .

Решение. Обозначим искомый оригинал через  , т. е.

.

Пусть  , а  .

Тогда  , а  .

Находим  ,  и по формуле Дюамеля имеем

Если 

есть правильная рациональная дробь, то разлагают эту дробь на сумму простых дробей и находят оригинал для каждой простой дроби, используя свойства преобразования Лапласа.

Пример 3.  .

Решение. Разлагаем F(p) в сумму простых дробей:

.

Находя коэффициенты А, В, С, D, получаем

.

С помощью таблицы определяем

.

Ответ:  .

4. Применение второй теоремы разложения. Вторая теорема разложения утверждает, что при определенных условиях на F(p) оригиналом для F(p) служит функция

,

где сумма вычетов берется по всем особым точкам рk функции F(p).

В частности, если

правильная рациональная дробь, то оригиналом ее служит функция

, (1)

где рk – полюсы F(p) кратности nk и сумма берется по всем полюсам F(p).

Пример 4.  .

Решение. Функция F(p) имеет полюс p1=1 и p2=-1каждый второго порядка. В формуле (1) n1=2, n2=2, l=2, k=1, 2.

По формуле (1) имеем

Если все полюсы функции F(p) простые, то формула из п.4 упрощается и принимает вид

.

Пример 5. .

Решение. Имеем случай, когда все полюса F(p) простые:

.

Тогда

,

,

,

Еслu

,

то

. Пример 6.  .

Решение. Поскольку

,

то  .

Имеем

.