27.Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Полагаем, что выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.Пусть некоторое фиксированное решение x = φ(t) этой системы существует при всех t ≥ t0. Решение x = φ(t) системы называется асимптотически устойчивым по Ляпунову при  t ≥ t0 , если :

— решение x = φ(t) устойчиво по Ляпунову при t ≥ t0 ;

— существует такое число Δ > 0, что любое решение x = φ(t), удовлетворяющее условию | x(t0) − φ(t0) | < Δ с ростом t стремится к нулю: | x(t0) − φ(t0) | → 0 при   t → ∞. .

 Геометрически это означает, что интегральные кривые x = x(t), близкие в момент t = t0 к интегральной кривой x = φ(t), приближаются к ней с ростом t.

 Интегральные кривые и фазовые траектории, отвечающие асимптотически устойчивым решениям, тоже называются асимптотически устойчивыми.

 На рисунке чёрным изображена асимптотически устойчивая фазовая траектория, некой системы дифференциальных уравнений второго порядка, которая начинается в точке (0.3, 0), и две, начинающиеся вблизи неё, траектории.