19.Метод вариации производных постоянных

Рассмотрим ЛНДУ (5.1). Его общим решением является функция (5.3), т. е.

Частное решение уравнения (5.1) можно найти, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения (5.2), методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа), состоящим в следующем. Пусть общее решение уравнения (5.2).Заменим в общем решении постоянные c1 и с2 неизвестными функциями c1(x) и с2(х) и подберем их так, чтобы функция

была решением уравнения (5.1). Найдем производную

Подберем функции c1(x) и с2(х) так, чтобы

Тогда

Подставляя выражение для в уравнение (5.1), получим:

или

Поскольку y1(x) и у2(х) - решения уравнения (5.2), то выражения в квадратных скобках равны нулю, а потому

Таким образом, функция (5.6) будет частным решением у* уравнения (5.1), если функции c1(x) и с2(х) удовлетворяют системе уравнений (5.7) и (5.8):

Определитель системытак как это определитель Вронского для фундаментальной системы частных решений у1 (х) и у2 (х) уравнения (5.2). Поэтому система (5.9) имеет единственное решение: с'1(х)= j1(x) и с'2(х)=j2(х), где j1(x) и j2(х) - некоторые функции от х. Интегрируя эти функции, находим c1(x) и с2(х), а затем по формуле (5.6) составляем частное решение уравнения (5.1).

Пример 5.1. Найти общее решение уравнения

Решение: Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения Имеем:Следовательно,

Найдем теперь частное решение у* исходногоуравнения. Оно ищется в виде (5.6): Для нахождения с1(х) и с2(х) составляем систему уравнений вида (5.9):

Решаем ее:

Запишем частное решение данного уравнения: Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

При нахождении частных решений ЛНДУ может быть полезной следующая теорема.

Теорема 5.2 (о наложении решений). Если правая часть уравнения (5.1) представляет собой сумму двух функций: - частные решения уравнений соответственно, то функция у*=y*1+y*2 является решением данного уравнения.

Действительно,