29.Числовой ряд сумма ряда

ЧИСЛОВОЙ РЯД – бесконечная сумма членов бесконечной числовой последовательности {an} называется числовым рядом:

a1 + a2+ a3 + … + an+ … =  .

Каждому натуральному n сопоставляется сумма первых n членов последовательности {an}

S1 = a1, S2= a1 + a2, …, Sn = = a1 + a2 + a3 + … + an, …

Значения Sn называют частичными суммами ряда. Они образуют последовательность {Sn} последовательность частичных сумм (бесконечного) ряда an – общий член ряда.

Если последовательность частичных сумм данного ряда имеет предел S,то есть

,

то ряд сходится и S – его сумма. Записывается это следующим образом:

a1 + a2 + a3 + … + an + … = S, или  = S.

В противном случае ряд называют расходящимся.

Таким образом, сумма ряда – это, по определению, предел последовательности его частичных сумм.

Пусть есть геометрическая прогрессия bn = b1qn–1, знаменатель которой qпо абсолютной величине меньше единицы (–1 < q < 1). Вычислим сумму первых n членов геометрической прогрессии:

Sn= b1+ b1qn + b1q2 + …+ b1qn–1=  .

Очевидно, что при |q| < 1 с ростом n значение qn стремится к нулю. Тогда значение Sn стремится к   и это число называется суммой всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии: b1 + b1qn + b1q2 + …= .