37 Функциональный ряд. Свойство равномерно сходящихся функциональных рядов

Определение 1.1. Функциональным рядом называется ряд вида

    (1.1)

Определение 1.2. Множество значений переменной x, при которых ряд (1.1) сходится, называется областью сходимости

Свойства равномерно сходящихся рядов.

Теорема 2.1. Пусть все члены  функционального ряда (1.1) определены в некоторой области D, непрерывны в ней и составленный из них функциональный ряд сходится в этой области равномерно. Тогда суммой ряда (1.1) будет функция, непрерывная в области D.

Доказательство. Из непрерывности членов функционального ряда (1.1) следует непрерывность каждой из его частичных сумм (1.3). По условию эта последовательность частичных сумм сходится равномерно к предельной непрерывной функции S(x), являющейся суммой ряда (1.1). Теорема доказана.

 Теорема 2.2. (Почленное интегрирование ряда). Если функциональный ряд (1.1) сходится равномерно в некоторой области D и имеет сумму S(x), то функциональный (относительно переменной у) ряд интегралов

   (2.1) (здесь  ) также сходится равномерно в этой области и имеет суммой функцию

   (2.2)

Доказательство. Пусть S_n(x) – n-я частичная сумма ряда (1.1). Тогда

   (2.3) будет, очевидно, n-ой частичной суммой ряда (2.1). По условию теоремы последовательность частичных сумм (1.3) ряда (1.1) сходится в области D равномерно. Следовательно, на основании теоремы о предельном переходе под знаком интеграла с переменным верхним пределом интегрирования последовательность интегралов

   (2.4) также сходится равномерно и имеет пределом (2.2). Но в силу (2.3) интегралы (2.4) являются частичными суммами ряда (2.1). Тем самым доказаны равномерная сходимость ряда (2.1) и равенство его суммы интегралу (2.2). Теорема доказана.