9.Уравнение в полных дифференциалах

Если дифференциальное уравнение имеет вид dy/dx = M(x,y)/N(x,y), где M и N – две заданные функции, то его можно представить как M(x,y)dx – N(x,y)dy = 0. Если левая часть является дифференциалом некоторой функции F(x,y), то дифференциальное уравнение можно записать в виде dF(x,y) = 0, что эквивалентно уравнению F(x,y) = const. Таким образом, кривые-решения уравнения – это «линии постоянных уровней» функции, или геометрические места точек, удовлетворяющих уравнениям F(x,y) = c. Уравнение ydy = xdx (рис. 1) – с разделяющимися переменными, и оно же – в полных дифференциалах: чтобы убедиться в последнем, запишем его в виде ydy – xdx = 0, т.е. d(y2 – x2) = 0. Функция F(x,y) в этом случае равна (1/2)(y2 – x2); некоторые из ее линий постоянного уровня представлены на рис. 1.