32.Признаки сравнения. Признак Даламбера.

(Признак Даламбера) Допустим, что строго положительный ряд (29) таков, что существует (конечный или бесконечный) предел

     (30)

Тогда при l > 1 ряд (28) расходится, а при l < 1 сходится.

     Допустим сначала, что l > 1. Так как дробь   стремится к l, то достаточно далекие значения этой дроби будут удовлетворять неравенству

     (31)

     Пусть, например, это неравенство выполнено для всех n, удовлетворяющих неравенству n > m. Тогда ряд

a_m+1 + a_m+2 + a_m+3 + ...     (32)

таков, что у него отношение уже любого последующего члена к своему предыдущему оказывается удовлетворяющим неравенству (31). Значит (по лемме 1), ряд (32) расходится, а так как это есть остаток ряда (28), то этот последний ряд также расходится.

     Пусть теперь l < 1. Закрепим какое-нибудь число q, удовлетворяющее неравенству l < q < 1 (например, положим  ). Тогда найдется такое m, что при всехn > m будет

Снова составляя ряд (32) и применяя к нему лемму 2, убеждаемся сначала в сходимости ряда (32), а затем и ряда (28).

     Доказанная теорема действительно имеет совершенно алгорифмический характер: для ее применения надо лишь составить отношение   и изучить его поведение при безгранично возрастающем n. Никаких вспомагательных рядов для сопоставления с данным рядом искать уже не требуется. Надо заметить, однако, что теорема 3 применима далеко не всегда. Не говоря уже о том, что предела (30) может не существовать, этот предел может равняться 1, и тогда теорема также не позволяет сделать никакого заключения относительно сходимости ряда.