30.Необходимые признаки сходимости ряда

Необходимый признак сходимости ряда: последовательность членов сходящегося ряда должна стремится к нулю:  .

Это условие не является достаточным, как показывает пример ряда  .

Для этого ряда выполняется необходимый признак сходимости ряда:  , однако, ряд расходится, так как частичные суммы

неограниченно возрастают.

Для выяснения сходимости рядов найдены разнообразные достаточные признаки сходимости или расходимости рядов.

Признак Д'Аламбера: если существует такое положительное c < 1, что начиная с некоторого n, выполняется неравенство

,

то ряд сходится. Если же начиная с некоторого n, выполняется неравенство

,

то ряд расходится. Отсюда, в частности, следует сходимость геометрической прогрессии при знаменателе 0 < q < 1 и расходимость приq  1.

Признак Коши: если существует такое положительное c < 1, что, начиная с некоторого n, выполняется неравенство:

,

то ряд сходится. Если же, начиная с некоторого n, выполняется неравенство:

,

то ряд расходится.

Особое место среди рядов занимают такие, в которых знаки слагаемых строго чередуются, а абсолютные величины рядов монотонно убывают. Оказывается, для таких рядов необходимый признак сходимости ряда является одновременно и достаточным, т.е., если , то ряд   сходится.