Теорема существования и единственности решения задачи Коши для номального уравнения первого порядка.

Нормальная система в векторных обозначениях примет вид

где .

Определение. Вектор-функция называется решением нормальной системы (1) на промежутке , если:

1.

2.

3.

Рассмотрим начальное условие

Точка (x₀,y₀) называется начальной точкой, а ее координаты x₀,y₀ называются начальными данными.

Определение. Задача нахождения решения нормальной системы (1), удовлетворяющего начальному условию (2), называется задачей Коши.

Система уравнений вида

где , назыается системой интегральных уравнений.

Вектор-функция называется решением на промежутке системы (3), если:

1.

2.

3.

Лемма об эквивалентности. Вектор-функция - решение задачи Коши (1) при условии (2) тогда и только тогда, когда решение системы интегральных уравнений (3).

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Пусть вектор-функция удовлетворяет на каждом компакте области G условию Липшица

Тогда:

1) найдется такое δ > 0, что при | x − x₀ | решение задачи Коши (1) при условии (2) существует,

2)решение задачи Коши единственно

В силу леммы об эквивалентности доказательство теоремы сводится к доказательству существования и единственности решения системы интегральных уравнений (3).

A)Существование

Поскольку и G - открытое множество, то что замкнутый цилиндр принадлежит G. В силу того, что цилиндр G_pq компакт то

Будем строить решение системы интегральных уравнений (3) методом приближений Пикара при | x₀ − x | < δ, где . Определим последовательные приближения следующим рекурентным образом при :

ясно, что каждая y_i(x) непрерывна при (x,y), и что

Как известно из курса анализа, равномерная сходимость функционального ряда эквивалентна равномерной сходимости ряда вида

докажем оценку

По теореме Вейршрасса получем, что

и

Единственность следует из леммы Гронуолла.