41. Действие над степенными рядами (свойства степенных рядов)

Свойства степенных рядов 

Рассмотрим степенной ряд

с0 + с1 х + с2 х2 + ... + сn xn + ... ,           (10.1)

имеющий радиус сходимости R>0 (R может равняться  ). Тогда каждому значению х из интервала сходимости соответствует некоторая сумма ряда. Следовательно, сумма степенного ряда есть функция от х на интервале сходимости. Обозначим ее через S(x). Тогда можно записать равенство

S(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ... + cn xn + ... ,           (10.2)

понимая его в том смысле, что сумма ряда в каждой точке х из интервала сходимости равна значению функции S(x) в этой точке. В этом же смысле будем говорить, что ряд (10.1) сходится к функции S(x) на интервале сходимости. Вне интервала сходимости равенство (10.2) не имеет смысла.

Для степенных рядов справедливы следующие утверждения:

Теорема 1.

Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз, причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны S`(x), S``(x), ... , S(n)(x).

Теорема 2.

Степенной ряд можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до х, если х   (-R; R), причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны   .