51. Функции комплексного переменного

19.2.1. Определение функции комплексной переменной ничем не отличается от общего определения функциональной зависимости. Напомним, что областью на плоскости мы называем любое открытое связное множество точек этой плоскости. Область односвязна, если любая подобласть, ограниченная непрерывной замкнутой самонепересекающейся кривой, лежащей в этой области, целиком принадлежит области.          Рассмотрим две плоскости комплексных чисел: C = {z| z = x + iy} и W = {w| w = u + iv}. Пусть в плоскости С задана область D и задано правило, ставящее в соответствие каждой точке z ∈ D определённое комплексное число w ∈ W. В этом случае говорят, что на области D определена однозначная функция w =f(z) (или определено отображение f : z → w). Область D называется областью определения функции, множество {w| w ∈ W, w = f(z), z ∈ D} - множеством значений функции (или образом области D при отображении f.          Если каждому z ∈ D ставится в соответствие несколько значений w ∈ W ( т.е. точка z имеет несколько образов), то функция w = f(z) называетсямногозначной.          Функция w = f(z) называется oднолистной в области D ⊂ C, если она взаимно однозначно отображает область D на область G ⊂ W (т.е. каждая точка z ∈ D имеет единственный образ w ∈ G, и обратно, каждая точка w ∈ G имеет единственный прообраз z ∈ D.          19.2.2. Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной. Так как w = u + iv, z = x + iy, то зависимость w = f(z) можно записать в виде w = u + iv = f(z) = f(x + iy) = Re f(x+ iy) + i Im f(x+ iy). Таким образом, задание комплекснозначной функции w = f(z) комплексной переменной z равносильно заданию двух действительных функций u= u(x, y) = Re f(z), v = v(x, y) = Im f(z) двух действительных переменных х, у.          Примеры: 1. w = z 3. Выражаем z 3 через х,у: z 3 = (x + iy) 3 = x 3 + 3 x 2 i y + 3 x i 2 y 2 + i 3 y 3 =            2. w = e z. Здесь            Дальше многие свойства ФКП (функций комплексной переменной) мы будем формулировать в терминах её действительной части u(x, y) и мнимой части v(x, y), поэтому техника выделения этих частей должна быть хорошо отработана.