66.Свойства преобразований по Лапласу

Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция f (t) действительного аргумента t, удовлетворяющая условиям:

1. f (t) интегрируема на любом конечном интервале оси t;

2. f (t)=0 для всех отрицательных t;

3.  f (t) возрастает не быстрее показательной функции, т. е. существуют такие постоянные М и 0, что |f(t)|<Me0t для всех t.

Изображением функции  f (t) (по Лапласу) называется функция F(p) комплексного переменного p= +i , определяемая равенством

.

Тот факт, что F(p) есть изображение  f (t), будем символически записывать так:

.

Для любой функции-оригинала  f (t) изображение определено в полуплоскости Rep>0 и является в этой полуплоскости аналитической функцией.

Из определения изображения следуют его простейшие свойства:

1. Линейность. Для любых комплексных постоянных a и b

(здесь и далее считать f(t)=F(p), g(t)=G(p)).

2.Теорема подобия. Для любого постоянного a >0

.

3. Дифференцирование оригинала. Если функции f (t), f(t) , f (t),…, f (n)(t) являются функциями-оригиналами и f(t)=F(p), то

,

,

,

где под f (k)(0), (k= 1, 2,…, n-1) понимается  .

4. Дифференцирование изображения. Дифференцирование изображения сводится к умножению на (-t) оригинала

или вообще

.

5. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на р, т. е. если f(t)=F(p), то

.

6. Интегрирование изображения. Если интеграл  сходится, то он служит изображением функции

.

7.Теорема смещения. Если f(t)=F(p), то для любого комплексного р0

.

8.Теорема запаздывания. Если f(t)=F(p), то для любого t >0

.

Важной для приложений является следующая:

Теорема единственности

Если две функции (t) и (t) имеют одно и то же L-изображение F(p), то эти функции тождественно равны.