18.Неоднородное линейное уравнение 2го порядка

Решить уравнение (*), для начальных условий y(0)=0, yI(0)=0

Решение:

Это неоднородное линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного.

1) Найду общее решение однородного уравнения.

Характеристическое уравнение: k2 + 6k +9 = 0

Имею кратный корень k1 2 = -3

В этом случае общее решение записывается в виде:

Yодн = C1ekx + C2xekx = C1e-3x + C2xe-3x или Yодн = e-3x (C1+ C2x)

2) Найду частное решение уравнения.

Так как правая часть неоднородного уравнения имеет вид , а числа α±βi не являются корнями характеристического уравнения, то частным решением будет

Для моего случая α=0, β=1, b=10, ±i не является корнем характеристического уравнения.

Частное решение

Найду первую и вторую производные по х этого равенства и подставлю их в заданное уравнение (*)