54.Конформные отображения

Взаимно однозначное отображение области D на область D* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (лат. conformis — подобный), если в окрестности любой точки D дифференциал этого преобразования есть композиция ортогонального преобразования и гомотетии.

Этот термин пришёл из комплексного анализа, изначально использовался только для конформных отображений областей плоскости.

Связанные определения

Если при конформном отображении сохраняется ориентация, то говорят о конформном отображении первого рода; если же она меняется на противоположную, то говорят о конформном отображении второго рода либо антиконформном отображении .

Две метрики   на гладком многообразии M называются конформноэквивалентными если существует гладкая функция   такая что  . В этом случае тождественное отображение на M индуцирует конформное отображение  .

Свойства

Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;

Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).

Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.

Теорема Лиувилля: Всякое конформное отображение области евклидова пространства   при   можно представить в виде конечного числа суперпозиций — изометрий и инверсий.

Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, то есть если   и g — конформноэквивалентные метрические тензоры, то      где   и W обозначают тензоры Вейля для   и g соответственно.

Для конформно-эквивалентых метрик 

Связности связаны следующей формулой:    

Кривизны связаны следующей формулой:           если g(X,X) = g(Y,Y) = 1,g(X,Y) = 0,Xψ = 0 а Hessψ обозначает Гессиан функции ψ.

Формулу для секционных кривизн можно записать в следующем виде:      где f = e − ψ.

При вычислении скалярной кривизны n-мерного риманова многообразия, удобнее записывать конформный фактор в виде  . В этом случае: