55.Интеграл по комплексному переменному

Пусть   - непрерывная функция комплексного  , определенная в области   и   - гладкая кривая, лежащая в  , с началом в точке   и концом в точке   (рис. 137), заданная уравнением

или, что все равно, двумя уравнениями

        .                (1)

Рис. 137

Как всегда, направление на   соответствует изменению параметра   от   до    .

Интеграл от функции   вдоль кривой   определяется следующим образом:

.

Если учесть, что   и  , то равенство (2) можно коротко записать так:

.             (3)

Таким образом, из (2) видно, что интеграл по комплексному переменному есть сумма двух криволинейных интегралов, и его вычисление сводится к вычислению обыкновенных интегралов.

Интеграл (2) существует для любой непрерывной функции   (в этом случае функции   и   также непрерывны) и любой гладкой кривой   (т. е. когда  ,  ) непрерывны и  ).

Если кривая   кусочно-гладкая и состоит из гладких ориентированных кусков  , то по определению считаем

.                   (4)

На основании свойств криволинейного интеграла легко получаем

1)

,

где   та же кривая, что и  , но ориентированная противоположно (см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 7.4).

2)

,

где   - постоянные числа.

3)

Если   при  , то

,

где   - длина  .

В самом деле, на основании свойства обыкновенного интеграла имеем

.