58.Ряд Лорана

Ряд Лорана. Пусть функция f(z) аналитична в кольце ρ ≤ |z − z0| ≤ R. Тогда для любой точки этого кольца  ; при этом окружности проходятся так, что область остаётся слева (следствие 3 раздела 19.7.2. Интегральная формула Коши). Изменим в интеграле по внутренней окружности направление обхода на противоположное:  . Интеграл по внешней окружности преобразуем так, как и при выводе формулы Тейлора:  (так как | z – z0| < | t – z0| , то  )  , и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать: , где  . Интеграл по внутренней окружности преобразуем аналогично, учитывая только, что на Lρ | t – z0| < | z – z0| :    . И здесь ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:    ,г де  . Переобозначим n → −n, тогда форма коэффициентов ряда для Lρ совпадёт с формой коэффициентов ряда для LR:   поэтому окончательно для интеграла по Lρ получим  . Докажем, что и контур для вычисления коэффициентов может быть взят один и тот же. Действительно, пусть Γ - кусочно-гладкий контур, расположенный в кольце ρ ≤ |z − z0| ≤ R, и точка z0 расположена внутри этого контура. По теореме Коши для многосвязной области  ;  , поэтому для любого n  , и           .          Этот ряд (содержащий и положительные, и отрицательные степени (z – z0), называется рядом Лорана функции f(z). Его часть, содержащая неотрицательные степени ( ), называется правильной; часть, содержащая отрицательные степени ( ), называется главной. Правильная часть, по самому своему построению, сходится в круге | z – z0| ≤ R, главная - во внешности круга | z – z0| ≥ ρ, поэтому весь ряд сходится в пересечении этих областей, т.е. в кольце ρ ≤ | z – z0| ≤ R. Так же, как и для ряда Тейлора, разложение в ряд Лорана единственно.          Еще раз подчеркнем, что в ряд Лорана раскладывается функция, аналитическая в кольце, и ширина этого кольца определяется областью аналитичности функции, т.е. разложение теряет смысл там, где функция теряет аналитичность. Рассмотрим