40. Интервал и радиус сходимости степенного ряда

В соответствии с теремой Абеля отметим: при условии, что является точкой сходимости ряда (30.2) ряд предполагает сходимость абсолютно во всех точках интервала Если есть точка расходимости (30.2), то во всех точках интервалов ряд расходится. Тогда заключим: имеется такое число , что на ряд (30.2) сходится абсолютно, а на расходится. В этом случае справедлива нижеобозначенная теорема.

Т: Область сходимости ряда (30.2) — это интервал предполагается расходимость ряда.

Интервал определен в качестве его радиуса сходимости. Существуют некоторые ряды, для которых интервал сходимости вырождается в точку , при этом, имеются и такие ряды, для которых интервал охватывает всю ось . Если , то ряд может расходиться и сходиться. Это зависит от конкретного ряда.

Запишем способ нахождения радиуса сходимости ряда (30.2). Исследуем ряд, составленный их абсолютных величин его членов и используем по отношению к нему признак Даламбера:

При условии, что (иначе выражаясь, ) ряд из абсолютных величин членов (30.2) сходится и ряд (30.2) сходится абсолютно. Запишем

(30.4)

Если , то ряд (30.2) расходится, поскольку общий член ряда не стремится к Получается, что формула (30.4) обеспечивает радиус сходимости.

Пример: Определить радиус и интервал сходимости ряда

интервал абсолютной сходимости На концах интеграла: если , то представляет собой гармонический расходящийся ряд, в случае же когда  — это знакочередующийся ряд, который предполагает условную сходимость. Промежуток есть область сходимости обозначенного ряда.

Ряд (30.1) можно свести к ряду (30.2) посредством осуществления замены переменной

Если ряд , то ряд (30.1) сходится абсолютно для , иначе выражаясь, сходимость имеется на интервале