4.Ду первого порядка. Общее и частное решение

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

где функции P(t,x) и Q(t,x) определены и непрерывны в некоторой области

Уравнения в полных дифференциалах

Если в уравнении (1) левая часть представляет собой полный дифференциал, то есть , то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах (частный случай так называемого пфаффова уравнения). Интегральные кривые такого уравнения суть линии уровней функции , т.е. определяются уравнением при всевозможных значениях произвольной постоянной .

Если в области выполнено условие , то общее решение уравнения (1) определяется из уравнения как неявная функция . Через каждую точку области проходит единственная интегральная кривая уравнения (1).

Если рассматриваемая область односвязна, а производные также непрерывны в , то для того, чтобы (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнения условия

Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество. Так, функция y(x) = e^x + x обращает уравнение : y⁽⁴⁾ – y + x = 0 в тождество на всей числовой оси (y⁽⁴⁾(x) = e^x; e^x –(e^x +x) + x = 0), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y(x) = sin(x) + x). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная. Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения (1) называется такое соотношение

что: 1. Любое решение (2) относительно y (для набора постоянных C₁, C₂, …, C_n из некоторой области n-мерного пространства) - частное решение уравнения (1); 2. Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных C₁, C₂, …, C_n. Мы будем в основном рассматривать дифференциальные уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной:

и получать общее решение в форме

решённой относительно неизвестной функции.